Quantas dimensões existem no Universo?

Veja também: De que é feito o universo?

No início do século 20, a resposta para essa pergunta era tão óbvia quanto velha. Euclides, lá na Grécia antiga, já havia sacado que são três as direções possíveis para qualquer movimento: para cima ou para baixo (altura); para a esquerda ou para a direita (largura); e para a frente ou para trás (profundidade). Portanto, o espaço possui três dimensões. Em 1905, porém, Einstein começou a bagunçar tudo. Ele demonstrou que, ao contrário do que dizia a física até então, o espaço e o tempo não eram fixos e imutáveis. Na verdade, eles eram flexíveis e manipuláveis, de modo que era possível, sob certas condições, encolher o tamanho de um centímetro ou esticar a duração de um segundo. E o pior: a modificação sobre um estava atrelada à transformação do outro. Ou seja: o tempo era, do ponto de vista físico, indistinguível do espaço. Com isso, deixou de ser possível falar em três dimensões – já que o tempo não podia mais ser colocado em uma gaveta distinta da das outras dimensões. Ficou claro que tudo era uma coisa só: um continuum espaço-tempo, como os físicos hoje adoram dizer. Até aí, bastava incorporar o tempo, que até Euclides conhecia, à lista das três dimensões existentes.

Mas Einstein complicou ainda mais as coisas quando, em 1915, conseguiu aprofundar sua teoria da relatividade. Ao estudar os movimentos acelerados, ele percebeu que a gravidade era nada menos do que uma distorção na geometria das quatro dimensões. Saía de cena a geometria euclidiana e vinha em seu lugar uma geometria não-euclidiana (em que a soma dos ângulos de um triângulo não necessariamente dá 180 graus e linhas paralelas podem se cruzar!). Não satisfeito em pôr de cabeça para baixo a geometria básica do Universo, Einstein decidiu que o passo seguinte era unificar a física toda num só conjunto de equações. Naquela época, em que ninguém conhecia ainda as forças que agiam dentro dos átomos, a tão sonhada unificação era apenas uma questão de costurar a relatividade (que explicava a gravidade) e o eletromagnetismo (responsável pelos fenômenos relacionados à partícula que aprendemos a chamar de elétron).

Einstein não foi muito adiante em seus esforços, mas outros foram inspirados por sua busca. Trabalhando individualmente em meados da década de 1920, Theodor Kaluza e Oskar Klein perceberam que, se a relatividade geral fosse reescrita para acomodar cinco dimensões, em vez de quatro, as equações do eletromagnetismo brotavam naturalmente dela. Mas tinha um probleminha: até onde se pode ver, o Universo não tem cinco dimensões, mas apenas quatro. Klein, em 1926, sugeriu que não podíamos ver a quinta dimensão porque ela estaria enrolada em si mesma, como um tubinho minúsculo. Foi então que surgiu a teoria das cordas – a noção de que as partículas que compõem o Universo poderiam ter a forma de cordas vibrantes. Os físicos desconfiam que, a partir dessa premissa, seria possível descrever todos os componentes da natureza numa única teoria – mas só se o universo possuísse nada menos que 26 dimensões. Uma dimensão enrolada escondida, vá lá. Mas quem vai acreditar em 22 dimensões escondidas? Como explicar que quatro dimensões são aparentes e as outras todas ficam ocultas?

Como os próprios físicos achavam essa ideia difícil de engolir, começaram a trabalhar numa forma de reduzir o número de dimensões necessárias. Hoje eles já conseguiram fechar com 10 ou 11 dimensões – e muitos pesquisadores acreditam que o número não vai cair muito mais do que isso. Ou seja, se a teoria das cordas estiver certa, o universo deve estar cheio de dimensões enroladas e, portanto, invisíveis. Bem mais recentemente, a física quântica começou a desconfiar que os elétrons não são imutáveis em suas órbitas, como muitos pensam, mas sim viajantes dimensionais existindo em dimensões paralelas. É sabido que os elétrons existem de forma oscilatória, surgindo e sumindo a todo o momento; a partir disso, a teoria das cordas tenta provar que eles estão à todo momento viajando entre as 11 dimensões.

Fonte: Superinteressante.

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Quantas dimensões você enxerga?

Artigo de Adonai Sant’Anna, professor de matemática da UFPR.

Nunca vi exceção. Todos os alunos que tive, até hoje, dizem que não conseguem imaginar um espaço com mais de três dimensões. Inerente a este discurso, existe a crença de que eles conseguem imaginar e até enxergar em um espaço tridimensional. Até mesmo experientes profissionais da área de ciências exatas alegam serem capazes de enxergar em três dimensões. Nesta postagem quero desfazer o mito do mundo tridimensional em que vivemos. Uma das descobertas científicas mais espetaculares da história foi a concepção das geometrias não euclidianas, no século 19. A partir do trabalho pioneiro de Lobatchevsky, ficou clara a seguinte ideia, entre outras: Geometria é um ramo da matemática independente de modos de percepção visual. O conceito de dimensão, em matemática, é abstrato. E mesmo conceitos comuns da geometria são também abstratos, como ponto, reta, plano e espaço. No entanto, teorias matemáticas sustentadas em conceitos abstratos são comumente aplicadas para modelar o mundo físico. Mas, de forma alguma, devemos entender com isso que o caráter ontológico de uma teoria matemática necessariamente espelha o caráter ontológico do mundo físico.

Cito dois exemplos: mecânica corpuscular clássica e mecânica quântica. Mecânica corpuscular clássica é parcialmente desenvolvida em espaços tridimensionais. O que isso significa? Significa que posições e velocidades de partículas são descritas como funções sobre um espaço vetorial de três dimensões. Ou seja, partículas e espaço são meramente conceitos matemáticos. Surpreendentemente, é possível corresponder esses conceitos abstratos a objetos do mundo real. Neste sentido, não basta para o físico ter em mãos uma teoria matemática. É necessário ele fazer uma correspondência entre os conceitos matemáticos disponíveis e aquilo que ele pode efetivamente medir no mundo real. Por isso existem aqueles que definem “teoria física” como uma tripla ordenada (M, D, r), sendo que M é uma teoria matemática, D é o domínio de aplicação (mundo real) e r é um conjunto de relações entre M e D. Muito se sabe sobre M e D. Mas a literatura sobre as relações r é ainda muito pobre. Nada se sabe sobre elas. Por isso existem tantas discussões sobre o caráter ontológico de teorias físicas. Justamente porque ainda não se sabe o quão fiel a matemática é, para informar sobre a natureza íntima do mundo real.

No caso da mecânica corpuscular clássica, diz-se que uma partícula pode ser localizada em um espaço tridimensional. E, a partir disso, cria-se uma intuição física na qual se fala de posições horizontais, verticais e de profundidade, relativamente a um observador físico. No entanto, o fato de podemos criar uma intuição física para um espaço tridimensional exclusivamente matemático não significa que vivemos em um mundo tridimensional. Afirmar isso retrata a pretensão de conhecermos a natureza íntima do espaço físico. A bem da verdade, não sabemos sequer se existe algum espaço físico. Na mecânica quântica, a posição de um objeto físico (como um elétron) é descrita em um espaço vetorial conhecido como espaço de Hilbert, que tem infinitas dimensões. Observe que o propósito é ainda o mesmo: localizar uma partícula. No entanto, para acomodar características atípicas de certas partículas, físicos perceberam que não podem mais usar espaços vetoriais de três dimensões para dizer onde, por exemplo, um elétron está.

Um espaço vetorial de três dimensões é usualmente descrito como um caso particular de conjunto. E um conjunto é um conceito abstrato. É simplesmente impossível enxergar um conjunto. Ainda que os elementos de um conjunto pudessem ser objetos do mundo real (como pessoas ou canecas), o conjunto em si não pode ser percebido pelos sentidos físicos. O conjunto das pessoas que já leram alguma postagem deste blog é um conceito abstrato que persiste mesmo quando todas essas pessoas já tiverem morrido daqui a cem milhões de anos. É possível, por enquanto, ver essas pessoas. Mas o conjunto em si não pode ser visto, apesar de poder ser matematicamente definido. Se físicos trabalham com espaços de dimensão infinita para realizar a simples tarefa de dizer onde um elétron está é porque esses mesmos físicos estão se empenhando em desenvolver uma intuição diferente daquela explorada em mecânica corpuscular clássica. A verdade é que nada sabemos sobre o suposto espaço físico que parece nos envolver.

Se você acha que enxerga em três dimensões, precisa rever o que entende por “dimensão”. Se a palavra “dimensão” for empregada no sentido matemático usual, você está enganado. Não é possível enxergar em dimensão alguma. Se a palavra “dimensão” é usada em outra acepção, então esclareça sobre o que, afinal, você está falando. Intuições não precisam ser desenvolvidas apenas de um ponto de vista geométrico, antenado com preconceitos com os quais estamos simplesmente acostumados. Intuições podem também ser desenvolvidas sob outras perspectivas. Por que não desenvolver, por exemplo, uma intuição algébrica sobre dimensões? Observe que até mesmo a linguagem natural que emprego nesta postagem é impregnada de preconceitos que apenas estreitam a capacidade de compreensão sobre matemática. Afinal, usei a expressão “outras perspectivas” no parágrafo acima. E “perspectiva” é um termo comumente associado à geometria. Em suma, se você deseja se libertar de graves preconceitos sobre seus modos de percepção do mundo, estudar matemática é uma alternativa interessante. Pelo menos você começa a se acostumar com outras formas de percepção.

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O que um ser de 4 dimensões veria em você?

Artigo de Caroline Barrueco para o blog Noosfera.

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Ele veria todo o seu corpo, a parte de trás e da frente. E também seus órgãos internos. Tudo ao mesmo tempo. Apesar de jamais podermos de fato visualizar a quarta dimensão, podemos entender a lógica por trás da progressão de dimensões, e tentar assimilar a possibilidade de alguém conseguir ver o interior de outra pessoa. Tudo pelo puro exercício de visualização matemática.

Vivemos em um mundo de três dimensões: altura, largura e profundidade. Tem gente que diz que o tempo é a quarta dimensão, e viveríamos em um mundo de três dimensões mais o tempo, e outras pessoas dizem que o tempo seria como uma camada 3D de uma quarta dimensão espacial mesmo. Mas esse post fala das três dimensões espaciais com as quais lidamos diariamente.

Para começar, como de costume quando se fala de dimensões mais altas, é preciso usar analogias, porque dimensões mais altas são inacessíveis para nós e só conseguimos imaginá-las assim – percebendo o que as nossas três dimensões têm em comum, e como poderíamos aplicar isso a uma próxima dimensão.

Primeiro vamos imaginar que também existem mundos de 1, 2 e 4 dimensões cada um deles habitado por seres geométricos. Os habitantes do mundo 1D seriam linhas, podemos chamar a única dimensão de seus mundos de ‘largura’, por exemplo. Então eles não teriam nem altura nem profundidade. Em seus mundos de só uma dimensão eles poderiam se movimentar somente para a direita ou para a esquerda, um pouquinho, até atingirem o vizinho. Eles jamais poderiam ultrapassar seus vizinhos, porque seria impossível pular por cima ou caminhar pelo lado deles sem acessar uma segunda dimensão. É interessante perceber que habitantes desse universo de uma dimensão, com um olho em uma de suas extremidades, enxergariam só pontos. Apesar de terem uma dimensão, enxergariam o mundo em zero dimensão. Nós, por outro lado, podemos ver o mundo 1D de fora. Ou seja, vemos os seres inteiros, inclusive seus ‘interiores’.

Da mesma forma, seres vivendo na segunda dimensão seriam planos, mas eles mesmos não conseguiriam enxergar os seus conterrâneos inteiros, e só veriam linhas retas (1D). Teriam que caminhar (?) ao redor de cada forma para saber se se trata de um triângulo ou quadrado, por exemplo. Assim é um quadrado de duas dimensões, visto da terceira dimensão:

E essa seria a aparência do mesmo quadrado visto por um ser de duas dimensões:

A ideia-chave aqui é perceber que sempre enxergamos numa dimensão inferior àquela na qual estamos inseridos. Seres de qualquer dimensão conseguem ver o interior dos seres da dimensão abaixo, mas só conseguem ver a superfície de seres com o mesmo número de dimensões que eles próprios. Por exemplo, nós, seres de três dimensões, conseguimos ver o interior de um quadrado de duas dimensões, porque a luz tem outra dimensão por onde passar, mas o próprio quadrado só conseguiria ver a superfície, o contorno, dos objetos do seu mundo.

Então nós, seres de três dimensões, seguindo essa progressão lógica, na verdade vemos apenas duas dimensões por vez, mas conseguimos deduzir através de várias outras informações, (experiências passadas, visão binocular, incidência da luz) a profundidade de cada objeto. A luz é projetada na nossa retina, que é um plano. Apesar de lidarmos diariamente com três dimensões, estamos presos nessas dimensões, e a luz não tem por onde passar para poder nos mostrar mais do que a superfície de cada coisa. Mas se adicionássemos uma nova dimensão, que crescesse a um ângulo de 90 graus de todas as outras, poderíamos ver o lado de trás e o lado da frente e o interior dos objetos ao mesmo tempo.

Então, resumindo, a respeito da quarta dimensão, podemos deduzir que: (1) A retina dos seres da quarta dimensão poderia ver três dimensões por vez. (2) Os seres da quarta dimensão poderiam ver também o interior de objetos da terceira dimensão. (3) As superfícies dos objetos de quarto dimensões são formadas por três dimensões. Então ao olhar para um cubo, por exemplo, nós vemos só o lado do cubo que está voltado para nós, ao olhar para um cubo nós vemos um plano, mas seres de quatro dimensões poderiam ver os seis lados do cubo ao mesmo tempo, e seu interior. E um ser de quatro dimensões ao olhar para um hipercubo veria um cubo. Que é o achatamento 3D do hipercubo 4D.

Então ao olhar para uma pessoa, um ser de quatro dimensões poderia ver todos os seus órgãos internos, e vasos sanguíneos, e o interior dos vasos sanguíneos, e o interior de tudo. De uma forma inconcebível para nós, algo como uma camada 3D de tudo que forma aquela pessoa, e não só sua superfície.

Uma dica:  Flatland, escrito em 1884 por Edwin Abbott, que conta a história de um mundo de duas dimensões que é visitado por uma esfera. É leitura essencial para quem quer começar a pensar na quarta dimensão.